Se tg(x)= 3/4 e π≤x≤ 3π/2, o valor de cos(x) -sen(x) é igual a:
a) 7/5 b) -7/5 c) -2/5 d)1/5 e) -1/5
1 Resposta
Se tg x = 3/4 e π ≤ x ≤ 3π/2 (3º quadrante), calcular o valor da expressão
cos x − sen x.
—————
Solução:
Partindo da definição de tangente,
![mathrm{tg,}x=dfrac{mathrm{sen,}x}{cos x}=dfrac{3}{4}\ 4,mathrm{sen,}x=3cos xqquadquadmathbf{(i)}]()
Eleve os dois lados ao quadrado:
![(4,mathrm{sen,}x)^2=(3cos x)^2\ 4^2,mathrm{sen^2,}x=3^2cos^2 x\ 16,mathrm{sen^2,}x=9cos^2 x]()
Mas sen² x = 1 − cos² x. Então, ficamos com
![16cdot (1-cos^2 x)=9cos^2 x\ 16-16cos^2 x=9cos^2 x\ 16=9cos^2 x+16cos^2 x\ 16=(9+16)cos^2 x\ 16=25cos^2 x\ cos^2 x=dfrac{16}{25}]()
Tomando raízes quadradas de ambos os lados,
![cos x=pm,sqrt{dfrac{16}{25}}\ cos x=pm,dfrac{4}{5}]()
Mas como x é um arco do 3º quadrante, o cosseno de x é negativo. Portanto,
![cos x=-,dfrac{4}{5}]()
✔
Encontramos o valor do seno de x pela relação (i):
![4,mathrm{sen,}x=3cos x\ mathrm{sen,}x=dfrac{3}{4}cos x\ mathrm{sen,}x=dfrac{3}{diagup!!!!4}cdot left(!-,dfrac{diagup!!!! 4}{5}ight)]()
![mathrm{sen,}x=-,dfrac{3}{5}]()
✔
Finalmente, o valor da expressão pedida é
![cos x-mathrm{sen,}x=-,dfrac{4}{5}-!left(!-,dfrac{3}{5}ight)\ cos x-mathrm{sen,}x=-,dfrac{4}{5}+dfrac{3}{5}\ cos x-mathrm{sen,}x=dfrac{-,4+3}{5}]()
![cos x-mathrm{sen,}x=-,dfrac{1}{5}quadlongleftarrowquad extsf{esta 'e a resposta.}]()
resposta: alternativa E) − 1/5.
Bons estudos! :-)
cos x − sen x.
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Solução:
Partindo da definição de tangente,
Eleve os dois lados ao quadrado:
Mas sen² x = 1 − cos² x. Então, ficamos com
Tomando raízes quadradas de ambos os lados,
Mas como x é um arco do 3º quadrante, o cosseno de x é negativo. Portanto,
Encontramos o valor do seno de x pela relação (i):
Finalmente, o valor da expressão pedida é
resposta: alternativa E) − 1/5.
Bons estudos! :-)
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